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공학박사 박우람 

톰 크루즈가 주연한 영화 엣지 오브 투모로우(Edge of Tomorrow)는 시간이 반복되는 상황을 재미있게 풀어낸 SF 영화다. 주인공이 지구를 침공한 외계 생명체에 대항하다가 우연히 시간을 반복시키는 능력을 가지게 되고, 외계 생명체 보스를 처치하기 위해 수십 번 같은 시간을 반복하며 다양한 전략을 구사한다. 매번 전략이 실패하여 사망하면, 다시 과거로 돌아가 또 다른 전략을 시도하는 방식이다. 사실 비슷한 형식의 타임 루프 (time loop) 영화는 꽤 많다. 현실에서 불가능한 이야기이기 때문에 더 큰 재미가 있는 것 같다.

이런 종류의 타임 루프 영화는 뉴턴 시대로부터 약 100년 후에 등장한 라그랑주 역학을 쉽게 설명해주는 듯하다. 이 라그랑주 역학은 물리학에서의 역할과 의미도 중요하지만 철학적 관점에서 흥미로운 시사점이 있어 소개하고자 한다.

조제프루이 라그랑주는 이탈리아에서 태어나고 프랑스에서 활동한 수학자이자 천문학자였다. 그가 만든 라그랑주 역학의 핵심에는 변분법(variational calculus)이라는 수학이 자리 잡고 있다. 이것은 미분의 확장된 개념이라고 할 수 있다.

포물선 그래프

중학교 수학에서 우리는 포물선 함수를 배운다. 그림처럼 수평축의 다양한 x값에 상응하는 y값이 존재하고, y값이 최소가 되는 지점이 있다. y의 최솟값을 찾기 위해서는 미분이 필요하다. 이렇게 단순한 수식은 라그랑주 시대 이전에 발전된 미분으로 문제를 풀 수 있지만, 더 복잡한 문제를 위해서는 더 발전된 방법이 필요했다.

여기서 말하는 더 복잡한 문제란, 예컨대 경로 선택 문제 같은 것이다. 출발점에서 목적지까지 가는 여러 가지 경로가 있을 수 있다. 시간이 가장 적게 걸리는 경로를 원한다고 가정해 보자. 출발점과 도착점 사이의 수많은 경로를 이 기준으로 평가해 볼 수 있다. 이 평가에서 가장 좋은 점수, 즉 최소 시간이 걸리는 경로가 최적 경로가 된다. 이 방법은 사실 조금 주먹구구식이다. 앞에서 예로 든 포물선 그래프에 이 방법을 적용한다면 x값을 일일이 함수에 넣어서 y값을 구해보는 방식에 해당한다. 당연히 미분을 사용하는 것이 더 좋은 방법이다.

경로 문제에도 미분을 사용할 수 있을까? 문제가 있다. 소요 시간을 최소화하기 위해 우리가 다루고 있는 것은 단순한 숫자 값이 아니라 ‘경로’라는 일종의 함수이다. ‘어느 경로가 최적인가’라는 질문이 ‘어떤 경로 함수를 선택해야 소요 시간이 최소가 되나’로 치환되고, 이때 미분에 해당하는 작업을 가능하게 하는 것이 변분법이다.

주제를 조금 더 구체적으로 이해하기 위해 자유 낙하하는 물체를 생각해보자. 낙하 과정을 들여다보는 대신, 처음과 끝만 보도록 하자. 시작할 때 물체는 특정 높이에 정지해 있다. 물체를 놓자마자 눈을 감고 있다가, 물체가 땅에 닿을 때 다시 눈을 떠서 물체의 위치와 속도를 본다. 우리의 질문은 이렇다. ‘물체는 어떤 경로를 따라 이동했을까?’ 답하기 매우 쉬운 질문처럼 보이지만, 만약 한 번도 자유 낙하를 관찰해보지 않았다면 그 경로가 직선이었다는 걸 알 수 있을까? 더 중요한 문제가 있다. 여기서 말하는 경로는 눈에 보이는 위치뿐만 아니라 속도의 추이도 포함한다. 즉 처음에 영이었던 속도가 땅에 닿을 때는 높아졌는데, 그 사이에 어떤 과정을 거쳐 속도가 증가했는지를 묻는 것이다.

타임 루프 영화에서처럼 수많은 경로를 대입해볼 수도 있겠다. 하지만 라그랑주는 250여 년 전에 이 문제에 대한 확실한 풀이를 제시하였다. 라그랑주는 변분법과 역학 방정식을 통해, 우주의 역학적 원리 속에서는 우리가 찾는 그 경로가 항상 특정한 함숫값을 최소로 만든다는 것을 알아내었다. 특히 이렇게 찾아낸 경로를 미분 방정식으로 표현하면 뉴턴이 집대성한 고전 역학 방정식과 정확히 일치한다. 여기서 최소가 되는 함수를 ‘작용(action)’이라고 정의하고, 그 값이 최소가 되는 것을 최소 작용의 원리라고 이름 지었다.

뉴턴 역학의 세계관은 즉각적인 인과율을 대변한다. 유명한 뉴턴의 역학 방정식 f=ma에서 그 의미를 재확인할 수 있다. 즉. 힘이라는 원인이 있다면 즉시 그에 상응하는 가속도라는 결과가 생기며, 주어진 힘에 의도가 숨어있지 않다면 결과 또한 무질서한 가속도의 나열일 뿐이다. 하지만 라그랑주 역학에서는 뉴턴 역학의 무대 뒤에 또 다른 원리가 동시에 작용함을 밝혀내었다. 즉 어떤 경우에라도 작용(action)이라고 불리는 값이 최소가 되는 방향으로 경로가 정해진다는 뜻이다. 마치 보이지 않는 또 다른 손이 있는 것처럼.

 이러한 발견은 과학철학의 영역으로도 확장되었다. 아리스토텔레스의 자연철학에서 출발한 고전적 목적론의 핵심 질문은 ‘우주 또는 자연은 목적을 향해 움직이는가?’이다. 이는 신의 존재성과 절묘하게 연결되는 질문이기도 하다. 르네상스 이후, 과학이 발전하면서 이러한 목적론은 힘을 잃었다. 하지만 최소 작용의 원리는 그 목적론이 잠시나마 다시 힘을 얻게 해주었다. 현재 주류 물리철학에서는 최소 작용의 원리에서 어떤 도덕적 목적론을 찾기보다는, 우주의 잘 짜여진 구조를 가장 자연스럽게 표현하는 언어가 바로 최소 작용의 원리인 것으로 받아들여지고 있다. 다시 말해 라그랑주 역학은 고전 역학적 우주를 설명하는 가장 질서 정연하고 자연스러운 언어 중 하나라고 보는 것이 합당할 것이다.